课程名称 |
学时数 |
学分 |
先修课程 |
开课学期 |
数学分析 /Mathematical Analysis |
180 |
10 |
中学数学 |
1 ． 2 |
面向专业：联读班
任课院系及教师：应用数学系，乃兵
《数学分析》是联读班的一门重要基础课，它是本科乃至研究生阶段许多后续课程的基础，同时还为培养学生的独立分析与独立工作能力提供必要的训练，在培养具有良好素质的研究及应用人才方面起着特别重要的作用。
本课程的基本内容有：极限论、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数论、广义积分与含参积分。本课程的目的除要求学生掌握与上述内容相关的基本概念、基本理论和基本方法外，着重在训练培养学生系统、严密的思维及论证能力，科学、规范的表达方式，为进一步从事科学研究及技术工作打下基础。
内容与安排
第一学期
（一） . 极限理论
- 数列极限：包括收敛数列的定义及性质、四则运算，无穷小与无穷小量，确界存在原理，单调有界数列的极限，数列的上下极限（第一章）。
- 函数极限：包括函数和单侧极限的存在性条件，函数极限的性质及运算（第二章）。
（二） . 连续性问题
- 函数的连续性：包括函数的连续点与间断点的定义及例子，连续函数的性质与运算，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（第三章）。
- 实数列的连续性理论：包括闭区间套定理，有限覆盖定理，致密性定理以及它们的等价性（第四章）。
（三） . 微分学
- 导数与微分：包括导数概念及运算法则与导数计算，微分的定义及运算，高阶导数与高阶微分（第五章）。
- 微分学基本定理：包括微分中值定理， L’Hospital 法则， Taylor 公式与 Lagrange 插值公式（第六章）。
- 运用导数研究函数性态：函数的单调性与极值，凸性以及函数图像的讨论（第七章）。
（四） 积分学
- 不定积分：包括不定积分的概念基本积分表，不定积分的运算法则，几种特殊的处等函数的积分（第八章）。
- 定积分：包括定积分概念，函数可积性条件，定积分的性质，微积分基本定理（ Newton—Leibnig 公式），定积分计算（第九章）。
- 定积分的应用：平面图形面积，由截面面积求立体体积，平面曲线的弧长与曲率，旋转曲面的面积，，定积分在物理上的某些应用（第十章）。
第二学期
（五） . 级数理论与反常积分
- 数项级数：包括数项级数概念及性质， Cauchy 准则，正项级数收敛的基本定理及其判别方法，任意项级数的绝对收敛与条件收敛的判别法，收敛级数的乘积（第十一章）。
- 反常积分：包括无穷积分与瑕积分的概念与性质，以及它们收敛的判别法（第十二章）。
- 函数项级数：包括函数项级数的点态收敛与一致收敛的概念，一致收敛判别法，一致收敛函数列与函数级数的性质。
- 幂级数：包括幂级数的概念与性质，函数的幂级数展开（第十四章）。
- Fourier 级数：包括 Fourier 级数的概念及引进， Fourier 级数的收敛性， Fourier 级数的展开， Fourier 级数的逐项积分与微分， Bessel 不等式（第十五章）。
（六） . 多元函数
- 多元函数的极限与连续：包括 n 维欧氏空间上的点集与多元函数，多元函数的极限与连续（第十六章）。
- 多元函数微分学：包括多元复合函数的可微与可导，拟微分中值定理，梯度、高阶偏导，多元函数的 Taylor 公式与极值（第十七章）。
- 隐函数定理及微分学应用：包括隐函数定理，反函数定理，方程变换，多元函数微分学的应用（第十八章）。
- 含参变量积分：包括一致极限，含参变量的定积分，含参变量的无穷积分， Euler 积分（第十九章）。
- 重积分：包括二重积分与三重积分的定义、性质、计算，累次积分与重积分的变量代换，
重积分在力学上的应用（第二十章）。
- 第一类线面积分：包括第一类曲线积分的概念、性质与计算，第一类曲面积分的概念与计算（第二十一章）。
- 第二类线面积分：包括第二类线面积分的概念、性质与计算，第一、二类曲线积分的联系， Green 公式，第二类曲面积分的概念与计算， Guass 公式与 Stokes 公式（第二十二章）。
习题课的安排
通过本课程的学习培养学生抽象思维与逻辑思维的能力和运算技能，掌握连续变量数学的基本特点与方法。并通过各教学环节使学生适应大学的学习方式。
《数学分析》章仰文、邵国年编，上海交大出版社 |
